本片從證明了費瑪最後定理的安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles開始談起，描述了 Fermat's Last Theorm 的歷史始末，往前回溯來看，1994年正是我在唸大學的時候，當時完全沒有一位教授在課堂上提到這件事，也許他們認為，一位真正的研究者，自然而然地會被數學吸引，然而對一位不是天才的學生來說，他需要的是老師的指引，引導他走向更高深的專業認知，而指引的道路，就在科普的精神上。 從費瑪最後定理的歷史中可以發現，有許多研究成果，都是研究人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」的命題，然後再嘗試用邏輯驗證。 費瑪最後定理：xn+yn=zn 當 n>2 時，不存在整數解 1. 1963年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃裡克‧坦普爾‧貝爾 Eric Temple Bell 的一本書吸引，「最後問題 The Last Problem」，故事從這裡開始。 2. 畢達哥拉斯 Pythagoras 定理，任一個直角三角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 x2+y2=z2 畢達哥拉斯三元組：畢氏定理的整數解 3. 費瑪 Fermat 在研究丟番圖 Diophantus 的「算數」第2卷的問題8時，在頁邊寫下了註記 「不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於2次冪，寫成兩個同樣次冪的和。」 「對這個命題我有一個十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。」 4. 1670年，費瑪 Fermat的兒子出版了載有Fermat註記的「丟番圖的算數」 5. 在Fermat的其他註記中，隱含了對 n=4 的證明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時無解 萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 證明了 n=3 時無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最後定理對於所有的質數都成立 但 歐基裡德 證明「存在無窮多個質數」 6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1)的質數，證明了 費瑪最後定理 "大概" 無解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德 延伸熱爾曼的證明，證明了 n=5 無解 8. 1839年 加布里爾‧拉梅 Gabriel Lame 證明了 n=7 無解 9. 1847年 拉梅 與 奧古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同時宣稱已經證明了 費瑪最後定理 最後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Ernst Kummer 的信，說科西與拉梅的證明，都因為「虛數沒有唯一因子分解性質」而失敗 庫默爾證明了 費瑪最後定理的完整證明 是當時數學方法不可能實現的 10.1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Paul Wolfskehl 補救了庫默爾的證明 這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未被解決 沃爾夫斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大衛‧希爾伯特，提出數學上23個未解決的問題且相信這是迫切需要解決的重要問題 12.1931年 庫特‧哥德爾 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合論是相容的，那麼存在既不能證明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能達到的 第二不可判定性定理：不存在能證明公理系統是相容的構造性過程。 => 相容性永遠不可能證明 13.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 發展了可以檢驗給定問題是不是不可判定的方法（只適用少數情形） 證明希爾伯特23個問題中，其中一個「連續統假設」問題是不可判定的，這對於費瑪最後定理來說是一大打擊 14.1940年 阿倫‧圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma編碼 的反轉機 開始有人利用暴力解決方法，要對 費瑪最後定理 的n值一個一個加以證明。 15.1988年 內奧姆‧埃爾基斯 Naom Elkies 對於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解這個推想，找到了一個反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰‧科次，研究橢圓曲線 研究橢圓曲線的目的是要算出他們的整數解，這跟費瑪最後定理一樣 ex: y2=x3-2 只有一組整數解 52=33-2 (費瑪證明宇宙中指存在一個數26，他是夾在一個平方數與一個立方數中間) 由於要直接找出橢圓曲線是很困難的，為了簡化問題，數學家採用「時鐘運算」方法 在五格時鐘運算中， 4+2=1 橢圓方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解為 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E5=4 來代表在五格時鐘運算中，有四個解 對於橢圓曲線，可寫出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 與 谷山豐 研究具有非同尋常的對稱性的 modular form 模型式 模型式的要素可從1開始標號到無窮（M1, M2, M3, ...） 每個模型式的 M序列 要素個數 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以對應到橢圓曲線的 E序列，兩個不同領域的理論突然被連接在一起 安德列‧韋依 採納這個想法，「谷山-志村猜想」 18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統一化猜想的理論，並開始尋找統一的環鏈 19.1984年 格哈德‧弗賴 Gerhard Frey 提出 (1) 假設費瑪最後定理是錯的，則 xn+yn=zn 有整數解，則可將方程式轉換為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程式 (2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 斷言每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是錯誤的 反過來說 (1) 如果 谷山-志村猜想 是對的，每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (2) 每一個橢圓方程式都可以被模型式化，則不存在弗賴橢圓方程式 (3) 如果不存在弗賴橢圓方程式，那麼xn+yn=zn 沒有整數解 (4) 費瑪最後定理是對的 20.1986年 肯‧貝里特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化 如果有人能夠證明谷山-志村猜想，就表示費瑪最後定理也是正確的 21.1986年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 開始一個小陰謀，他每隔6個月發表一篇小論文，然後自己獨力嘗試證明谷山-志村猜想，策略是利用歸納法，加上 埃瓦里斯特‧伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自然次序」一一對應到M序列 22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山-志村猜想，但結果失敗 23.1989年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 已經將橢圓方程式拆解成無限多項，然後也證明了第一項必定是模型式的第一項，也嘗試利用 依娃沙娃 Iwasawa 理論，但結果失敗 24.1992年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法，對所有分類後的橢圓方程式都奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助，開始對驗證證明 26.1993年5月 「L-函數和算術」會議，安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 發表谷山-志村猜想的證明 27.1993年9月 尼克‧凱茲 Nick Katz 發現一個重大缺陷 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居，嘗試獨力解決缺陷，他不希望在這時候公佈證明，讓其他人分享完成證明的甜美果實 28.安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月19日 發現結合 依娃沙娃 Iwasawa 理論與 科利瓦金-弗萊契 方法就能夠完全解決問題 30.「谷山-志村猜想」被證明了，故得證「費瑪最後定理」 ii 費馬大定理 300多年以前，法國數學家費馬在一本書的空白處寫下了一個定理：“設n是大於2的正整數，則不定方程xn+yn=zn沒有非零整數解”。 費馬宣稱他發現了這個定理的一個真正奇妙的證明，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年過去了，不知有多少專業數學家和業餘數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學中最著名的定理—費馬大定理。 費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的數學家，他最初學習法律並以當律師謀生，後來成為議會議員，數學只不過是他的業餘愛好，只能利用閒暇來研究。雖然年近30才認真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同時創立了解析幾何，同時又是17世紀興起的概率論的探索者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定理除一個被證明是錯的，一個未被證明外，其餘的陸續被後來的數學家所證實。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理，因為是最後一個未被證明對或錯的定理，所以又稱為費馬最後定理。 費馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進展，特別是最近幾十年，進展更快。1976年瓦格斯塔夫證明了對小於105的素數費馬大定理都成立。1983年一位年輕的德國數學家法爾廷斯證明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多組解，他的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎之一費爾茲獎。1993年英國數學家威爾斯宣佈證明了費馬大定理，但隨後發現了證明中的一個漏洞並作了修正。雖然威爾斯證明費馬大定理還沒有得到數學界的一致公認，但大多數數學家認為他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望。 為了尋求費馬大定理的解答，三個多世紀以來，一代又一代的數學家們前赴後繼，卻壯志未酬。1995年，美國普林斯頓大學的安德魯·懷爾斯教授經過8年的孤軍奮戰，用13 0頁長的篇幅證明了費馬大定理。懷爾斯成為整個數學界的英雄。 費馬大定理提出的問題非常簡單，它是用一個每個中學生都熟悉的數學定理——畢達 哥拉斯定理——來表達的。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三角形中， 斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大約在公元1637年前後 ，當費馬在 研究畢達哥拉斯方程時，他寫下一個方程，非常類似於畢達哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,當n 大於2時，這個方程沒有任何整數解。費馬在《算術》這本書的靠近問題8的頁邊處記下這 個結論的同時又寫下一個附加的評註：“對此，我確信已發現一個美妙的證法，這裡的空 白太小，寫不下。”這就是數學史上著名的費馬大定理或稱費馬最後的定理。費馬製造了 一個數學史上最深奧的謎。 大問題 在物理學、化學或生物學中，還沒有任何問題可以敘述得如此簡單和清晰，卻長久不 解。E·T·貝爾(Eric Temple Bell)在他的《大問題》(The Last Problem)一書中寫到， 文明世界也許在費馬大定理得以解決之前就已走到了盡頭。證明費馬大定理成為數論中最 值得為之奮鬥的事。 安德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是一位工程學教授。少年時代的懷爾斯 已著迷於數學了。他在後來的回憶中寫到：“在學校裡我喜歡做題目，我把它們帶回家， 編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區的圖書館裡發現的。 ”一天，小懷爾斯在彌爾頓街上的圖書館看見了一本書，這本書只有一個問題而沒有解答 ,懷爾斯被吸引住了。 這就是E·T·貝爾寫的《大問題》。它敘述了費馬大定理的歷史，這個定理讓一個又 一個的數學家望而生畏，在長達300多年的時間裡沒有人能解決它。懷爾斯30多年後回憶 起被引向費馬大定理時的感覺：“它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數學家都未能解 決它。這裡正擺著我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永 遠不會放棄它。我必須解決它。” 懷爾斯1974年從牛津大學的Merton學院獲得數學學士學位，之後進入劍橋大學Clare 學院做博士。在研究生階段，懷爾斯並沒有從事費馬大定理研究。他說：“研究費馬可能 帶來的問題是：你花費了多年的時間而最終一事無成。我的導師約翰·科茨(John Coate s)正在研究橢圓曲線的Iwasawa理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 告訴我，他有一個非常好的、剛完成數學學士榮譽學位第三部考試的學生，他催促我收其 為學生。我非常榮幸有安德魯這樣的學生。即使從對研究生的要求來看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他將是一個做大事情的數學家。當然，任何研究生在那個階段直接開始研 究費馬大定理是不可能的，即使對資歷很深的數學家來說，它也太困難了。”科茨的責任 是為懷爾斯找到某種至少能使他在今後三年裡有興趣去研究的問題。他說：“我認為研究 生導師能為學生做的一切就是設法把他推向一個富有成果的方向。當然，不能保證它一定 是一個富有成果的研究方向，但是也許年長的數學家在這個過程中能做的一件事是使用他 的常識、他對好領域的直覺。然後，學生能在這個方向上有多大成績就是他自己的事了。 ” 科茨決定懷爾斯應該研究數學中稱為橢圓曲線的領域。這個決定成為懷爾斯職業生涯中的 一個轉折點，橢圓方程的研究是他實現夢想的工具。 孤獨的戰士 1980年懷爾斯在劍橋大學取得博士學位後來到了美國普林斯頓大學，併成為這所大學 的教授。在科茨的指導下，懷爾斯或許比世界上其他人都更懂得橢圓方程，他已經成為一 個著名的數論學家，但他清楚地意識到，即使以他廣博的基礎知識和數學修養，證明費馬 大定理的任務也是極為艱鉅的。 在懷爾斯的費馬大定理的證明中，核心是證明“谷山－志村猜想”，該猜想在兩個非 常不同的數學領域間建立了一座新的橋樑。“那是1986年夏末的一個傍晚，我正在一個朋 友家中啜飲冰茶。談話間他隨意告訴我，肯·裡貝特已經證明了谷山－志村猜想與費馬大 定理間的聯繫。我感到極大的震動。我記得那個時刻，那個改變我生命歷程的時刻，因為 這意味著為了證明費馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山－志村猜想……我十分清楚 我應該回家去研究谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢想的道路。 20世紀初，有人問偉大的數學家大衛·希爾伯特為什麼不去嘗試證明費馬大定理，他 回答說：“在開始著手之前，我必須用3年的時間作深入的研究，而我沒有那麼多的時間 浪費在一件可能會失敗的事情上。”懷爾斯知道，為了找到證明，他必須全身心地投入到 這個問題中，但是與希爾伯特不一樣，他願意冒這個風險。 懷爾斯作了一個重大的決定：要完全獨立和保密地進行研究。他說：“我意識到與費 馬大定理有關的任何事情都會引起太多人的興趣。你確實不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的專心不被他人分散，而這一點會因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯放棄了所有 與證明費馬大定理無直接關係的工作，任何時候只要可能他就回到家裡工作，在家裡的頂 樓書房裡他開始了通過谷山－志村猜想來證明費馬大定理的戰鬥。 這是一場長達7年的持久戰，這期間只有他的妻子知道他在證明費馬大定理。 歡呼與等待 經過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作為一個結果，他也證明了 費馬大定理。現在是向世界公佈的時候了。1993年6月底，有一個重要的會議要在劍橋大 學的牛頓研究所舉行。懷爾斯決定利用這個機會向一群傑出的聽眾宣佈他的工作。他選擇 在牛頓研究所宣佈的另外一個主要原因是劍橋是他的家鄉，他曾經是那裡的一名研究生。 1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀最重要的一次數學講座。兩百名數學家聆 聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數式所表達 的意思。其餘的人來這裡是為了見證他們所期待的一個真正具有意義的時刻。演講者是安 德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最後時刻的情景：“雖然新聞界已經颳起有關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結束時的鏡頭，研究所所長肯 定事先就準備了一瓶香檳酒。當我宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，當我寫完 費馬大定理的證明時，我說：‘我想我就在這裡結束’，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲 。” 《紐約時報》在頭版以《終於歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎獲解》為題報道 費馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為世界上最著名的數學家，也是唯一的數 學家。《人物》雜誌將懷爾斯與戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。最有創 意的讚美來自一家國際製衣大公司，他們邀請這位溫文爾雅的天才作他們新系列男裝的模 特。 當懷爾斯成為媒體報道的中心時，認真核對這個證明的工作也在進行。科學的程序要 求任何數學家將完整的手稿送交一個有聲望的刊物，然後這個刊物的編輯將它送交一組審 稿人，審稿人的職責是進行逐行的審查證明。懷爾斯將手稿投到《數學發明》，整整一個 夏天他焦急地等待審稿人的意見，並祈求能得到他們的祝福。可是，證明的一個缺陷被髮 現了。 我的心靈歸於平靜 由於懷爾斯的論文涉及到大量的數學方法，編輯巴里·梅休爾決定不像通常那樣指定 2－3個審稿人，而是6個審稿人。200頁的證明被分成6章，每位審稿人負責其中一章。 懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電子郵件中提出的問題，他自信這 些問題不會給他造成很大的麻煩。尼克·凱茲負責審查第3章，1993年8月23日，他發現了 證明中的一個小缺陷。數學的絕對主義要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法中的每一步都 行得通。懷爾斯以為這又是一個小問題，補救的辦法可能就在近旁，可是6個多月過去了 ，錯誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境，他準備承認失敗。他向同事彼得·薩克說明自己的情 況，薩克向他暗示困難的一部分在於他缺少一個能夠和他討論問題並且可信賴的人。經過 長時間的考慮後，懷爾斯決定邀請劍橋大學的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月，依然沒有結果，他們準備放棄了。泰勒 鼓勵他們再堅持一個月。懷爾斯決定在9月底作最後一次檢查。9月19日，一個星期一的早 晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地，我有了一個 難以置信的發現。這是我的事業中最重要的時刻，我不會再有這樣的經歷……它的美是如 此地難以形容；它又是如此簡單和優美。20多分鐘的時間我呆望它不敢相信。然後白天我 到系裡轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在——它還在那裡。” 這是少年時代的夢想和8年潛心努力的終極，懷爾斯終於向世界證明了他的才能。世 界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論文總共有130頁，是歷史上核查得最徹底的數學稿 件，它們發表在1995年5月的《數學年刊》上。懷爾斯再一次出現在《紐約時報》的頭版 上，標題是《數學家稱經典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數學的術語來說，這個最 終的證明可與分裂原子或發現DNA的結構相比，對費馬大定理的證明是人類智力活動的一 曲凱歌，同時，不能忽視的事實是它一下子就使數學發生了革命性的變化。對我說來，安 德魯成果的美和魅力在於它是走向代數數論的巨大的一步。” 聲望和榮譽紛至沓來。1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家學會頒發的Schock數學獎，199 6年，他獲得沃爾夫獎，並當選為美國科學院外籍院士。 懷爾斯說：“……再沒有別的問題能像費馬大定理一樣對我有同樣的意義。我擁有如 此少有的特權，在我的成年時期實現我童年的夢想……那段特殊漫長的探索已經結束了， 我的心已歸於平靜。” 費馬大定理只有在相對數學理論的建立之後，才會得到最滿意的答案。相對數學理論沒有完成之前，談這個問題是無力地.因為人們對數量和自身的認識，還沒有達到一定的高度. iii 費馬大定理與懷爾斯的因果律-美國公眾廣播網對懷爾斯的專訪 358年的難解之謎 數學愛好者費馬提出的這個問題非常簡單，它用一個每個中學生都熟悉的數學定理——畢達哥拉斯定理來表達。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩個直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大約在公元1637年前後 ，當費馬在研究畢達哥拉斯方程時，他在《算術》這本書靠近問題8的頁邊處寫下了這段文字：“設n是大於2的正整數，則不定方程xn+yn=zn沒有非整數解，對此，我確信已發現一個美妙的證法，但這裡的空白太小，寫不下。”費馬習慣在頁邊寫下猜想，費馬大定理是其中困擾數學家們時間最長的，所以被稱為Fermat’s Last Theorem（費馬最後的定理）——公認為有史以來最著名的數學猜想。 在暢銷書作家西蒙·辛格（Simon Singh）的筆下，這段神秘留言引發的長達358年的獵逐充滿了驚險、懸疑、絕望和狂喜。這段歷史先後涉及到最多產的數學大師歐拉、最偉大的數學家高斯、由業餘轉為職業數學家的柯西、英年早逝的天才伽羅瓦、理論兼試驗大師庫默爾和被譽為“法國曆史上知識最為高深的女性”的蘇菲·姬爾曼……法國數學天才伽羅瓦的遺言、日本數學界的明日之星谷山豐的神秘自殺、德國數學愛好者保羅·沃爾夫斯凱爾最後一刻的舍死求生等等，都彷彿是冥冥間上帝導演的宏大戲劇中的一幕，為最後謎底的解開埋下伏筆。終於，普林斯頓的懷爾斯出現了。他找到謎底，把這出戏推向高潮並戛然而止，留下一段耐人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證明費馬大定理不僅是破譯一個難解之謎，更是去實現一個兒時的夢想。“我10歲時在圖書館找到一本數學書，告訴我有這麼一個問題，300多年前就已經有人解決了它，但卻沒有人看到過它的證明，也無人確信是否有這個證明，從那以後，人們就不斷地求證。這是一個10歲小孩就能明白的問題，然後歷史上諸多偉大的數學家們卻不能解答。於是從那時起，我就試過解決它，這個問題就是費馬大定理。” 懷爾斯於1970年先後在牛津大學和劍橋大學獲得數學學士和數學博士學位。“我進入劍橋時，我真正把費馬大定理擱在一邊了。這不是因為我忘了它，而是我認識到我們所掌握的用來攻克它的全部技術已經反覆使用了130年。而這些技術似乎沒有觸及問題根本。”因為擔心耗費太多時間而一無所獲，他“暫時放下了”對費馬大定理的思索，開始研究橢圓曲線理論——這個看似與證明費馬大定理不相關的理論後來卻成為他實現夢想的工具。 時間回溯至20世紀60年代，普林斯頓數學家朗蘭茲提出了一個大膽的猜想：所有主要數學領域之間原本就存在著的統一的鏈接。如果這個猜想被證實，意味著在某個數學領域中無法解答的任何問題都有可能通過這種鏈接被轉換成另一個領域中相應的問題——可以被一整套新方案解決的問題。而如果在另一個領域內仍然難以找到答案，那麼可以把問題再轉換到下一個數學領域中……直到它被解決為止。根據朗蘭茲綱領，有一天，數學家們將能夠解決曾經是最深奧最難對付的問題——“辦法是領著這些問題周遊數學王國的各個風景勝地”。這個綱領為飽受哥德爾不完備定理打擊的費馬大定理證明者們指明瞭救贖之路——根據不完備定理，費馬大定理是不可證明的。 懷爾斯後來正是依賴於這個綱領才得以證明費馬大定理的：他的證明——不同於任何前人的嘗試——是現代數學諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽羅華表示理論等等)綜合發揮作用的結果。20世紀50年代由兩位日本數學家（谷山豐和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：橢圓方程與模形式兩個截然不同的數學島嶼間隱藏著一座溝通的橋樑。隨後在1984年，德國數學家格哈德·費賴（Gerhard Frey）給出瞭如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，則費馬大定理為真。這個猜想緊接著在1986年被肯·裡貝特（Ken Ribet）證明。從此，費馬大定理不可擺脫地與谷山—志村猜想鏈接在一起：如果有人能證明谷山—志村猜想（即“每一個橢圓方程都可以模形式化”），那麼就證明了費馬大定理。 “人類智力活動的一曲凱歌” 懷爾斯詭秘的行蹤讓普林斯頓的著名數學家同事們困惑。彼得·薩奈克（Peter Sarnak）回憶說：“ 我常常奇怪懷爾斯在做些什麼？……他總是靜悄悄的，也許他已經‘黔驢技窮’了。”尼克·凱茲則感嘆到：“一點暗示都沒有！”對於這次驚天“大預謀”，肯·裡比特（Ken Ribet)曾評價說：“這可能是我平生來見過的唯一例子，在如此長的時間裡沒有洩露任何有關工作的信息。這是空前的。 1993年晚春，在經過反覆的試錯和絞盡腦汁的演算，懷爾斯終於完成了谷山—志村猜想的證明。作為一個結果，他也證明了費馬大定理。彼得·薩奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、異常激動、情緒失常……我記得當晚我失眠了”。 同年6月，懷爾斯決定在劍橋大學的大型系列講座上宣佈這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數學界重要人物到場，當大家終於明白已經離證明費馬大定理一步之遙時，空氣中充滿了緊張。” 肯·裡比特回憶說。巴里·馬佐爾（Barry Mazur）永遠也忘不了那一刻：“我之前從未看到過如此精彩的講座，充滿了美妙的、聞所未聞的新思想，還有戲劇性的鋪墊，充滿懸念，直到最後到達高潮。”當懷爾斯在講座結尾宣佈他證明了費馬大定理時，他成了全世界媒體的焦點。《紐約時報》在頭版以《終於歡呼“我發現了!”久遠的數學之謎獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）為題報道費馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為世界上唯一的數學家。《人物》雜誌將懷爾斯與戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。 與此同時，認真核對這個證明的工作也在進行。遺憾的是，如同這之前的“費馬大定理終結者”一樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現在不得不在巨大的壓力之下修正錯誤，其間數度感到絕望。John Conway曾在美國公眾廣播網（PBS）的訪談中說: “當時我們其他人（懷爾斯的同事）的行為有點像‘蘇聯政體研究者’，都想知道他的想法和修正錯誤的進展，但沒有人開口問他。所以，某人會說，‘我今天早上看到懷爾斯了。’‘他露出笑容了嗎？’‘他倒是有微笑，但看起來並不高興。’” 撐到1994年9月時，懷爾斯準備放棄了。但他臨時邀請的研究搭檔泰勒鼓勵他再堅持一個月。就在截止日到來之前兩週， 9月19日 ，一個星期一的早晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地，我發現了它……它美得難以形容，簡單而優雅。我對著它發了20多分鐘呆。然後我到系裡轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那裡——它確實還在那裡。” 懷爾斯的證明為他贏得了最慷慨的褒揚，其中最具代表性的是他在劍橋時的導師、著名數學家約翰·科茨的評價：“它（證明）是人類智力活動的一曲凱歌”。 一場曠日持久的獵逐就此結束，從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯的名字緊緊地被綁在了一起，提到一個就不得不提到另外一個。這是費馬大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。 歷時八年的最終證明 在懷爾斯不多的接受媒體採訪中，美國公眾廣播網（PBS）NOVA節目對懷爾斯的專訪相當精彩有趣，本文節選部分以饗讀者。 七年孤獨 NOVA：通常人們通過團隊來獲得工作上的支持，那麼當你碰壁時是怎麼解決問題的呢？ 懷爾斯：當我被卡住時我會沿著湖邊散散步，散步的好處是使你會處於放鬆狀態，同時你的潛意識卻在繼續工作。通常遇到困擾時你並不需要書桌，而且我隨時把筆紙帶上，一旦有好主意我會找個長椅坐下來打草稿…… NOVA：這七年一定交織著自我懷疑與成功……你不可能絕對有把握證明。 懷爾斯：我確實相信自己在正確的軌道上，但那並不意味著我一定能達到目標——也許僅僅因為解決難題的方法超出現有的數學，也許我需要的方法下個世紀也不會出現。所以即便我在正確的軌道上，我卻可能生活在錯誤的世紀。 NOVA：最終在1993年，你取得了突破。 懷爾斯：對，那是個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們出去了。我坐在書桌前思考最後的步驟，不經意間看到了一篇論文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一個19世紀的數學結構，我霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下樓午飯，到下午三四點時我確信已經證明了費馬大定理，然後下樓。Nada很吃驚，以為我這時才回家，我告訴她，我解決了費馬大定理。 最後的修正 NOVA：《紐約時報》在頭版以《終於歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎獲解》，但他們並不知道這個證明中有個錯誤。 懷爾斯：那是個存在於關鍵推導中的錯誤，但它如此微妙以至於我忽略了。它很抽象，我無法用簡單的語言描述，就算是數學家也需要研習兩三個月才能弄懂。 NOVA：後來你邀請劍橋的數學家理查德·泰勒來協助工作，並在1994年修正了這個最後的錯誤。問題是，你的證明和費馬的證明是同一個嗎？ 懷爾斯：不可能。這個證明有150頁長，用的是20世紀的方法，在費馬時代還不存在。 NOVA：那就是說費馬的最初證明還在某個未被發現的角落？ 懷爾斯：我不相信他有證明。我覺得他說已經找到解答了是在哄自己。這個難題對業餘愛好者如此特別在於它可能被17世紀的數學證明，儘管可能性極其微小。 NOVA：所以也許還有數學家追尋這最初的證明。你該怎麼辦呢？ 懷爾斯：對我來說都一樣，費馬是我童年的熱望。我會再試其他問題……證明了它我有一絲傷感，它已經和我們一起這麼久了……人們對我說“你把我的問題奪走了”，我能帶給他們其他的東西嗎？我感覺到有責任。我希望通過解決這個問題帶來的興奮可以激勵青年數學家們解決其他許許多多的難題。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了橢圓曲線(代數幾何的對象)和模形式(某種數論中用到的週期性全純函數)之間的重要聯繫。雖然名字是從谷山-志村猜想而來,定理的證明是由安德魯·懷爾斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一個質數而E是一個Q(有理數域)上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義E的方程模p;除了有限個p值，我們會得到有np個元素的有限域Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列 ap = np − p, 這是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅里葉變換，每個模形式也會產生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說: "所有Q上的橢圓曲線是模的"。 該定理在1955年9月由谷山豐提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進了嚴格性。谷山於1958年自殺身亡。在1960年代，它和統一數學中的猜想Langlands綱領聯繫了起來，並是關鍵的組成部分。猜想由André Weil於1970年代重新提起並得到推廣，Weil的名字有一段時間和它聯繫在一起。儘管有明顯的用處，這個問題的深度在後來的發展之前並未被人們所感覺到。 在1980年代當Gerhard Freay建議谷山-志村猜想(那時還是猜想)蘊含著費馬最後定理的時候，它吸引到了不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定理的任何範例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ken Ribet後來證明了這一結果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor證明了谷山-志村定理的一個特殊情況(半穩定橢圓曲線的情況)，這個特殊情況足以證明費爾馬大定理。 完整的證明最後於1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他們在Wiles的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。 數論中類似於費爾馬最後定理得幾個定理可以從谷山-志村定理得到。例如:沒有立方可以寫成兩個互質n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已為歐拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認為對最終完成的證明有著決定性影響。